2011 九月號

第七十一期電子報  出刊日期:1000921   

 

 

 


 

 

 

數學是發明還是發現?

 

在各領域都如此有用的數學,是人類發明的工具?還是人類發現的寶藏?

 

大多數人認為數學有用是理所當然,像是科學家以數學公式來描述次原子事件、工程師用數學計算太空船的路徑。我們接受最先由伽利略倡議的觀點:數學是科學的語言,其文法可以解釋實驗結果,甚至預測奇特的現象。數學驚人的威力處處可見,譬如蘇格蘭物理學家馬克士威(James Clark Maxwell)的著名方程組,他的四個算式不只總結了1860年代所有已知的電磁現象,並且預示了無線電波的存在,比德國物理學家赫茲(Heinrich Hertz)偵測到它還早了20年。極少語言這麼有效率,能將具有價值的眾多材料,如此簡潔、精確又清楚地表達出來。愛因斯坦曾反思說:「數學做為人類思想的產物,獨立於經驗之外,怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫?」

 

身為一位理論天文物理學家,我在每一個工作環節都會遇到「數學不合理的有效性」(unreasonable effectiveness of mathematics),這是1960年諾貝爾物理獎得主魏格納(Eugene Wigner)的用語。不論我是在研究哪些前身恆星系統會爆炸成Ia型超新星,或者計算太陽最終變成紅巨星時地球的命運,我所使用的工具或發展的模型都是數學。數學掌握自然世界的不可思議特質,讓我始終著迷。在10年前,我對這個課題有了更深刻的想法。

 

數學家、物理學家、哲學家、認知科學家,早已為這個謎團的核心議題,爭論了數百年。數學到底是如愛因斯坦所相信的,是一組發明出來的工具?還是數學確實存在於某個抽象的場域,而我們只是發現其中的真理?許多著名數學家,包括希爾伯特(David Hilbert)、康托(Georg Cantor),還有暱稱為布爾巴基(Bourbaki)的一群數學家,他們相信愛因斯坦的看法,相關的思想學派稱為形式主義(Formalism)。但是另一群傑出的思想家,包括哈迪(Godfrey Harold Hardy)、彭若斯(Roger Penrose)、哥德爾(Kurt Godel)則持對立的看法,這個思想學派稱為柏拉圖主義(Platonism)。

 

這項數學本質的爭論延續至今,似乎仍然很難解答。不過我相信,這是因為我們過度簡單的二分法提問「數學是發現還是發明?」,反而忽略了比較複雜的可能性:發明和發現都扮演了重要的角色。我認為兩者合起來才能解釋數學為什麼這麼有用。雖然消除發明與發現的對立性,並不能全然解釋數學不合理的有效性,但針對這個影響深遠的問題,即使是不完整的一小步,仍算有所進展。

 

既是發明也是發現

 

數學不合理的有效性有兩層很不一樣的意義,一者積極,一者消極。有時科學家為了將現實世界的現象量化,會發明特殊的方法。例如牛頓發明微積分是為了掌握運動與變化,於是將其切割成一連串無窮小的片段。因為這畢竟是量身打造的工具,所以這類積極發明當然有效。令人訝異的是在某些情況下,這些理論展現驚人的精確度。以量子電動力學為例,這是描述光和物質作用的數學理論。科學家計算電子的磁矩時發現,理論的計算值和2008年得到的最新實驗值1.00115965218073(以適當單位測量)符合,準確度竟高達兆分位。

 

也許更令人驚奇的是,有時數學家在發展一整套的研究時,心裡並沒有任何預設的應用。結果經過幾十年甚至幾百年後,物理學家才發現這個數學分支的研究,竟然和他們的觀察頗有相合之處。這種消極有效性的例子不勝枚舉,例如法國數學家迦羅瓦(屴ariste Galois)在19世紀初發展了群論,唯一目的是要判斷多項式的可解性。群的涵義很廣泛,它是由一些物件集合(例如整數)所構成的代數結構,並以某種運算(例如加法)來結合,而且該運算必須遵守特定規則。(其中包括單位元素如0的存在性,0加任何數的結果還是該數。)結果到了20世紀,這門非常抽象的數學,竟成為刻畫物質基礎,也就是基本粒子最豐饒的理論。1960年代,葛爾曼(Murray Gell-Mann)與尼曼(Yuval Neman)不約而同提出,有一類特殊群SU(3)反映了次原子粒子「強子」(hadron)的行為,這項關聯性最終為原子核如何結合的現代理論奠定了基礎。

 

結論(knot theory)為數學的消極有效性提供了另一個優美的範例。數學中的結和日常生活中的結類似,只是沒有鬆開的兩端。在1860年代,克爾文爵士(Lord Kelvin)想將原子描述成結狀的以太(ether),這個錯誤的模型因為無法解釋真實現象而失敗,此後數學家繼續研究結論幾十年,只是將它當做純數學的秘密武器。神奇的是,現在結論提供了弦論與環圈量子重力論的重要見解,這兩個領域是當今嘗試結合量子力學與廣義相對論,以建構出時空本質的最佳理論。

 

類似的,英國數學家哈迪在數論中的發現,促進了密碼學的發展,儘管哈迪曾經宣稱:「還沒有人發現數論的成果有任何類似戰爭上的用途。」另外在1854年,黎曼(Bernhard Riemann)描述了現在稱為黎曼幾何的非歐幾何,這是平行線可能會彼此相交或越離越遠的奇特空間。大半個世紀之後,愛因斯坦運用這種幾何學建立了廣義相對論。

 

於是一種模式浮現了:人們從周遭的世界萃取出某些元素,發明了數學概念,例如數、直線、形體、集合、群等,其中有些具有特殊目的,有些則只是純粹好玩。然後他們再繼續去發現這些數學概念之間的關係。由於整個發明與發現的過程是人為的(這和柏拉圖主義者所相信的發現不同),因此數學的終極根基是人類的感知與人們能夠喚起的心智圖像。

 

撰文∕利維歐(Mario Livio) 翻譯∕翁秉仁

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2011年第115期9月號】

 

 


 

 

 

 

 


 

 

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